علاقة الدوال بالمخرجات

الدالة هي علاقة تحدد مخرجة واحدة فقط للمدخلة الواحدة 

نعم العبارة صحيحة الدالة هي علاقة تحدد مخرجة واحدة فقط للمدخلة الواحدة، حيث إن الدوال هي الجزء الرئيسي من حساب التفاضل والتكامل في علم الرياضيات، فهي عبارة عن تعبير أو قاعدة أو قانون يقوم بتحديد العلاقة بين متغير واحد ومتغير آخر تابع له، أو بالطريقة أخرى الدالة هي علاقة تحدد مخرجة واحدة فقط للمدخلة الواحدة.

تتبع الدالة عدة وظائف وتلك الوظائف موجودة في كل جزء من علم الرياضيات، حيث تُمثل الضرورة القصوى من أجل تكوين العلاقة الفيزيائية في العلوم، ولقد تم تعريف الوظائف حديثًا لأول مرة في عام 1837 من قِبل عالم الرياضيات الألماني بيتر ديريتشليت.

فالوظائف هي عبارة عن أنواع خاصة من العلاقات التي تُعطي مخرجات فريدة لكل إدخال ويرمز له بالرمز x، والذي يُستخدم في رسم الخرائط أو التحويل من أجل الدلالة على وظيفة ما في علم الرياضيات، وعادة ما يتم الإشارة إلى تلك الوظائف بأحرف مختلفة من حروف اللغة الإنجليزية مثل f و g و h.

وفيها المجال الذي يتم تعريفه على أنه عبارة عن مجموعة من بين القيم الموجودة والتي يمكن للوظيفة إدخالها أثناء تحديها في النطاق وهو عبارة عن كل القيم التي تظهر كناتج للدالة والتي يكون فيها المجال المشترك عبارة عن مجموعة من القيم التي من المحتمل أن تظهر على هيئة مخرجات للدالة.

فالدوال عبارة عن علاقة تربط بين العناصر وليكن العنصر أ والذي يُمثل المجموعة الغير فارغة، والتي يُمثلها على الجانب الآخر مجموعة أخرى مكونة من عنصر واحد غير فارغ وليكن ب، لتتكون علاقة مكونة من مجموعة أ وهو الذي يُمثل المجال الوظيفي ومجموعة أخرى ب وهي التي تُمثل المجال المشترك للوظيفة،  ولذلك يتم التعبير عن الدالة في الرياضيات بـ و = {(أ ، ب) | لجميع أ ∈ أ ، ب ، ب}

علاقة الدالة بالعناصر والوظيفة

• يتم التعبير عن العلاقة على أساس كونها دالة وذلك في حالة أن كان لكل عنصر في المجموعة أ صورة واحدة فقط في المجموعة ب.
• الوظيفة في الدالة تكون عبارة عن علاقة من مجموعة B الغير فارغة بحيث يكون هناك مجال آخر للوظيفة وهو A وفي تلك الحالة يكون لا يوجد زوجان في حالة ترتيبة ومتميزة في العنصر F ولن يكونو مرتبطين بالعنصر الأول.
• الدالة من A → B و (a ، b) ∈ f ، ثم f (a) = b، تكون متمثلة في b وهي صورة a الموجودة تحت f وفي نفس الوقت هي الصورة المسبقة للعنصر b الموجودة أيضًا تحت العنصر f.
• في حالة إذا كانت هناك وظيفة f: A → B ، فإن حينها المجموعة A تُسمى بمجال الوظيفة f ، والمجموعة B تُسمى بالمجال المشترك.

تعريف الدالة الحقيقية

الدالة الحقيقية هي التي يقع نطاقها ضمن نطاق الأعداد الحقيقية، أي الأعداد الغير جذرية والأرقام الغير مركبة، ولذلك يُطلق عليها اسم الدالة الحقيقية والتي تمتلك أيضًا قيم حقيقية.

الدالة الحقيقية عبارة عن قيم يتم وضعها للوسيطات والتي تعبر عنها بـ (P = f (x، وأحيانًا يتم استخدام الرمز f: x ↦ P، وتعتبر الطريقة الأكثر شيوعًا لتحديد الدالة الحقيقية من خلال بعض المعادلات أي يمكن الحصول على قيمة الدالة الحقيقية وليكن p من خلال استبدال القيمة x من خلال وضع صيغ معينة تقوم بتحديد الدالة، والتي يُعبر عنها بشكل عام من خلال ( F ( x.

فببساطة يمكن الدالة التي تمتلك قيمة حقيقة يكون لها قيم حقيقية فعلى سبيل المثال إذا كان لديك مجموعتين من الأرقام الحقيقة وليكن X و Y. ومن خلال استخدام تعريف الدالة، يمكن أن نقول أن تعريف الدالة ذات القيمة الحقيقية عبارة عن تطابق يعين على إدخال القيمة (x) في المجموعة X لمخرج واحد بالضبط  والقيمة (y) في المجموعة Y، أي تكون الدالة هي علاقة تحدد مخرجة واحدة فقط للمدخلة الواحدة.

الدوال الخطية

الدوال الخطية عبارة عن أي دالة يتم رسمها في خط بياني، مما يعني أن الدالة هنا تحتوي على متغير واحد أو متغيرين بدون أي أسس أو قوى، فالدالة الخطية إذا كانت تحتوي على متغيرات عديدة فحينها يجب أن تكون ثوابت أو على الأقل متغيرات معروفة القيم، ومن أجل تحديد الدوال الخطية يجب إنشاء قائمة تكون محققة للكثير من العناصر التي يجب أن تُقدمها الوظيفة، وهي ما يلي:

• العنصر الأول الذي يجب أن تحققه الدالة الخطية هو أنه يجب أن تحتوي على متغير واحد أو متغيرين حقيقيين على الأقل
• في حالة وجود متغير آخر يجب أن يكون متغير ثابت ومعروف على سبيل المثال، الدالة C  2 * pi * r أي الدالة الخطية C و r هما متغيران حقيقيان، و pi ثوابت.
• العنصر الثاني في الدالة الخطية لا يمكن أن يكون تابع لمتغيرات أو قوة، حيث لا يمكن تربيعها أو تكعيبها، ويجب أن تكون جميع المتغيرات في البسط.
• الدالة الخطية يجب أن تكون مرسومة في خط مستقيم ولا مجال لوجود أي منحنيات.
• كل الدوال الخطية يكون لها نوع واحد فقط من الخطوط المستقيمة وذلك عند رسمها بالطريقة البيانية.
• الخطوط المستقيمة في الدالة الخطية من الممكن أن تكون متجهة لأعلى أو لأسفل أو لليسار أو لليمين ومن الممكن أن يكون مائل قليلًا ولكنه أقرب للاستقامة.

أنواع الدوال

يتم تحديد أنواع الدوال على أساس تغيير المجال والنطاق الوظيفي للدالة وعلى أساسها يكون لكٍا منها تعريف ولكن المعنى للعام للدوال هو أن الدالة هي علاقة تحدد مخرجة واحدة فقط للمدخلة الواحدة، أما من ناحية التعبير المستخدم لكتابة الدالة فهو العامل الرئيسي المحدد للدالة عامًة بجانب التعبير عنها.

فالعلاقة بين عناصر مجموعة المجال ومجموعة النطاق هي التي تُمثل نوع الدالة، وهذا التصنيف هو الذي يُساعد على معرفة تصنيف الدوال وأنواعها المختلفة، فيتم تمثيل الدوال من أجل عرض قيم المجال وقيم النطاق والعلاقة الموجودة بينهما، وتتم تلك العملية من خلال مساعدة مخططات معينة والتنسيقات الرسومية ونماذج القوائم.

يمكن تقديم كل المحتويات الرياضية التي لها قيمة على شكل دوال، فيتم تصنيف الدوال إلى أنواع مختلفة متوقفة على عدة عوامل مثل مجال ومدى الدالة وتعبير الدالة، فتحتوي الدوال على قيمة المجال x والذي يُشار إليها باسم المدخلات، فيمكن أن تكون قيمة المجال عدد أو زاوية أو رقم عشري أو كسر، وبالمثل قيمة y، ففي الحالتين تكون تلك القيم عبارة عن قيم رقمية وهي النطاق الذي يتم على أساسها تصنيف الدوال، ويتم تصنيف أنواع الدوال من أجل المساعدة على فهم وتعلم البيانات الجبرية، وفيما يلي سوف نتعرف على أنواع الدوال المختلفة وإليك هي:

• الدالة الثابتة.
• الدالة الخطية.
• دالة التكعيب.
• الدالة متعددة الحدود.
• دالة المعامل.
• دالة الإشارة.
• الدالة الفردية.
• الدالة الزوجية.
• دالة اللوغاريتميات.
• التربيعية.
• الدورية.
• العكسية.
• الصحيحة.
• المركبة.
• الجبرية.
• المثلثية.